Специальные приемы дифференцирования  

Специальные приемы дифференцирования

Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова

СБОРНИК ЗАДАНИЙ

ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

КУРС

СЕМЕСТР

Часть

Дифференциальное исчисление

Функций одного переменного

Г. БАРНАУЛ

Год

Составитель: Исаева М.В.

Данный сборникзаданий для практических занятий по математике является составной частью комплекса сборников, направленных на активизацию работы студентов по изучению программы курса.

В сборник включены: программа второго семестра дисциплины ЕН.Ф.01 «МАТЕМАТИКА», список рекомендуемой литературы, основные положения учебного материала, дополненные задачами с решениями, наборы заданий различной степени сложности по дифференциальному исчислению функции одного переменного

Краткие теоретические сведения, снабженные большим количеством примеров с иллюстрацией методов их решения, позволяют использовать сборник для различных видов обучения, в том числе для самостоятельной работы студентов и для аудиторных занятий.

Для студентов групп СТФ.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Дифференциальное исчисление функции одного переменного……………..………………………………………..……….3

1. Непосредственное дифференцирование…………….......................…….3

- Правила дифференцирования….……..……………………………….3

- Таблица производных элементарных функций……………………....4

2. Специальные приемы дифференцирования……………..........…….............10

2.1. Логарифмическое дифференцирование……………………....…..10

2.2. Дифференцирование функций, заданных неявно………………..10

2.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически……..11

3. Производные высших порядков….......................................................... 12

4. Дифференциал функции ……………………..………………................17

5. Геометрический и физический смысл производной.………..………...22

6. Правило Лопиталя…………………………………….………………....29

7. Примерный вариант контрольной работы …………….………………35

8. Возрастание и убывание функций……………………………….……..35

9. Максимум и минимум функции………………………………………. 38

10. Наибольшее и наименьшее значение функции………………………42

11. Решение задач на максимум и минимум……………………………..44

12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба………………….46

13. Асимптоты кривой……………………………………………………..49

14. Исследование функции и построение графиков……………………..53

15. Варианты типового расчета…………..……………..............................57

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Непосредственное дифференцирование

Производной от функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента

.

Если этот предел конечный, то функция называется дифференцируемойв точке .

Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.

Числа и называются соответственно левойи правой производнымифункции в точке . Для существования производной функции в точке необходимо и достаточно, чтобы ее левая и правая производная в этой точке существовали и были равны между собой: .

Правила дифференцирования

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) , ;

7) , ;

8) если , , т.е. - сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то

или ;

9) если для функции существует обратная дифференцируемая функция и , то .

Таблица производных элементарных функций

1) , , . В частности: ; ;

2) , ; 3) ;

4) , ; 5)

6) ; 7) ;

8) ; 9) ;

10) ; 11) ;

12) ; 13) ;

14) , ; 15) , ;

16) , ; 17) , .

Пример 1. Пользуясь только определением производной, найти :

a) .

Имеем:

.

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) ;

h) .

Пример 2. Для заданной функции найти и :

a) ,

Имеем и

.

b) ,

c) ,

d) ,

Пример 3. Найти производные , для функций:

а) .

Находим производную

Вычислим пределы производной слева и справа в точке :

, .

b) , ;

c) , .

Пример 4. Найти производные функций:

а) , .

Представим функцию в виде

тогда

Функция не имеет производной в точке ,

так как , а .

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

Пример 5. Найти производные:

а) .

Преобразуем функцию к виду, удобному для дифференцирования. Пользуясь основными правилами дифференцирования и таблицей производных, имеем

, .

b) .

По формуле производной произведения двух функций:

.

с) .

По формуле производной частного двух функций:

.

d) .

Упростим логарифмируемое выражение:

.

По правилам дифференцирования имеем:

.

e) Найти производную функции .

Правило дифференцирования сложной функции: ( ) .

Полагая и , имеем и . Отсюда, согласно ( ), получаем .

f) .

Упростим логарифмическое выражение:

.

Дифференцируем как сложную функцию:

f) .

Дифференцируем как сложную функцию:

.

Пример 6. Найти производные гиперболических и обратных к ним функций:

a) (гиперболический синус),

b) (гиперболический косинус),

c) (гиперболический тангенс),

d) (гиперболический котангенс).

Свойства:

; ; ; ; .

e) .

По правилу дифференцирования обратной функции получим: .

Переходя к обычным обозначениям, имеем: .

f) .

По правилу дифференцирования обратной функции получим:

.

Переходя к обычным обозначениям, имеем:

, .

g) . ; .

h) ; , .

i) . По правилу дифференцирования сложных функций имеем: .

j) . По правилу дифференцирования сложных функций имеем: .

Пример 7. Найти производные функций:

a) .

Если основание логарифма является некоторой функцией , то при нахождении производной целесообразно перейти к натуральным логарифмам

, .

.

b) .

Перейдем к натуральному логарифму .

Отсюда . ;

c) .

.

Найти производные следующих функций:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. , перед дифференцированием лучше упростить выражение с помощью свойств логарифмов: .

16. . 17. ;

18. . 19. .

20. . 21. .

22. . 23. .

24. . 25. .

26. . 27. .

28. . 29. .

30. . 31. .

32. . 33. .

34. . 35. .

36. . 37. .

38. . 39. .

Найти производные функций и вычислить их значения в точке :

1. , . 2. , .

3. , . 3. , .

Самостоятельная работа

Продифференцировать данные функции:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

Специальные приемы дифференцирования


9156117402320980.html
9156150801569727.html
    PR.RU™